Следующий шаг на пути к уравнениям движения - это введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросить: а как изменяется скорость движения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за скорость . Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за . Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за . Эта величина называется ускорением.
Таким образом, ускорение определяется как быстрота изменения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцировать формулу , то получим ускорение падающего тела
(При дифференцировании этого выражения использовался результат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от равна просто (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.
В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:
.
Для скорости мы получили формулу
Так как ускорение - это производная скорости по времени,
то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу.
Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна
сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы но будем
проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что
такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции , причем в
результате коэффициент удваивался, а превращалось в . Вы можете сами убедиться
в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от будет равна . Перейдем теперь
к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная
от постоянной будет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение никакого
вклада. Окончательный результат: 
.
Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением , то его скорость в любой момент времени будет равна
а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,
Заметим еще, что поскольку скорость - это , а ускорение - производная скорости по времени, то можно написать
. (8.10)
Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная.
Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что . Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения. Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движении в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы в трехмерном пространстве. Эта глава началась с обсуждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положение частицы задается двумя числами (координатами) и , каждое из которых является соответственно расстоянием до оси и до оси (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две координаты заданы как функции времени. (Обобщение на трехмерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты . Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координатных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направлению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая скорости, или -компонента, будет равна производной по времени от координаты , т. е.
а вертикальная составляющая, или -компонента, равна
В случае трех измерений необходимо еще добавить
Фигура 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.
Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени и расстоянием . Из фиг. 8.3 видно, что
(8.14)
(Значок соответствует выражению «приблизительно равно».) Средняя скорость в течение интервала получается простым делением: . Чтобы найти точную скорость в момент , нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить к нулю. В результате оказывается, что
. (8.15)
В трехмерном случае точно таким же способом можно получить
(8.16)
. Что это за движение? Так как
Эту связь между координатами и можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Вели изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4). Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.
При прямолинейном равноускоренном движении тело
- двигается вдоль условной прямой линии,
- его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
- за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.
Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .
Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.
Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:
При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:
Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:
Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:
Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:
Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:
at = v – v 0
a = (v – v 0)/t
В случае торможения:
at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t
В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:
Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:
Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.
При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.
Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:
s = ½ * (v 0 + v) * t
Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:
s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2
Итак, пройденный путь определяется по формуле:
s = v 0 t + at 2 /2
(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)
Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.
Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.
Ускорение - знакомое слово. Не инженеру оно чаще всего попадается в новостных статьях и выпусках. Ускорение развития, сотрудничества, других общественных процессов. Исконное же значение этого слова связано с физическими явлениями. Как найти ускорение движущегося тела, или ускорение, как показатель мощности автомобиля? А может ли оно иметь иные значения?
Что происходит между 0 и 100 (определение термина)
Показателем мощности автомобиля принято считать время его разгона от нуля до сотни. А что же происходит в промежутке? Рассмотрим нашу "Ладу Веста" с ее заявленными 11 секундами.
Одна из формул как найти ускорение записывается так:
a = (V 2 - V 1) / t
В нашем случае:
a - ускорение, м/с∙с
V1 - начальная скорость, м/с;
V2 - конечная скорость, м/с;
Приведем данные в систему СИ, а именно км/ч пересчитаем в м/с:
100 км/ч = 100000 м / 3600 с = 27,28 м/с.
Теперь можно найти ускорение движения "Калины":
a = (27,28 - 0) / 11 = 2,53 м/с∙с
Что обозначают эти цифры? Ускорение 2,53 метров в секунду за секунду говорит о том, что за каждую секунду скорость «болида» увеличивается на 2,53 м/с.
При старте с места (с нуля):
- за первую секунду автомобиль разгонится до скорости 2,53 м/с;
- за вторую - до 5,06 м/с;
- к концу третьей секунды скорость составит 7,59 м/с и т. д.
Таким образом, можно подытожить: ускорение - рост скорости точки за единицу времени.
Второй закон Ньютона, это несложно
Итак, величина ускорения вычислена. Самое время задаться вопросом, откуда же это ускорение берется, что является его первоисточником. Ответ один - сила. Именно сила, с которой колеса толкают автомобиль вперед, и вызывает его ускорение. И как найти ускорение, если величина этой силы известна? Зависимость между этими двумя величинами и массой материальной точки была установлена Исааком Ньютоном (это произошло не в тот день, когда ему на голову упало яблоко, тогда он открыл другой физический закон).
А записывается этот закон так:
F = m ∙ a, где
F - сила, Н;
m - масса, кг;
a - ускорение, м/с∙с.
Применительно к изделию российского автопрома, можно подсчитать силу, с которой колеса толкают машину вперед.
F = m ∙ a = 1585 кг ∙ 2,53 м/с∙с = 4010 Н
или 4010 / 9,8 = 409 кг∙с
Это означает, что если не отпускать педаль газа, то машина будет набирать скорость до достижения скорости звука? Конечно же, нет. Уже при достижении ею скорости 70 км/ч (19,44 м/с) лобовое сопротивление воздуха достигает 2000 Н.
Как найти ускорение в момент времени, когда Лада «летит» с такой скоростью?
a = F / m = (F колес - F сопр.) / m = (4010 - 2000) / 1585 = 1,27 м/с∙с
Как видим, формула позволяет находить как ускорение, зная силу с которой на механизм воздействуют двигатели (другие силы: ветра, потока воды, вес и т. д.), так и наоборот.
Для чего необходимо знать ускорение
В первую очередь для того, чтобы вычислить скорость какого-либо материального тела в интересующий момент времени, а так же его местоположение.
Предположим, что наша "Лада Веста" разгоняется на Луне, где нет лобового сопротивления воздуха по причине отсутствия такового, тогда ускорение ее на каком-то этапе будет стабильным. В этом случае определим скорость машины через 5 секунд после старта.
V = V 0 + a ∙ t = 0 + 2,53 ∙ 5 = 12,65 м/с
или 12,62 ∙ 3600 / 1000 = 45,54 км/ч
V 0 - начальная скорость точки.
А на каком расстоянии от старта окажется в этот момент наш лунный автомобиль? Для этого проще всего воспользоваться универсальной формулой определения координаты:
x = x 0 + V 0 t + (at 2) / 2
х = 0 + 0 ∙ 5 + (2,53 ∙ 5 2) / 2 = 31,63 м
x 0 - начальная координата точки.
Именно на такое расстояние успеет за 5 секунд удалиться "Веста" от линии старта.
Но на деле, для того, чтобы найти скорость и ускорение точки в заданный момент времени, в реальности необходимо учитывать и просчитывать множество других факторов. На Луну, понятное дело, "Лада Веста" если и попадет, то нескоро, на ее ускорение, кроме мощности нового инжекторного движка, влияет не только сопротивление воздуха.
На разных оборотах мотора, он выдает разное усилие, это еще не беря в расчет номер включенной передачи, коэффициент сцепления колес с дорогой, уклон этой самой дороги, скорость ветра и многое другое.
Какие еще бывают ускорения
Сила умеет не только заставлять тело двигаться вперед по прямой. Например, сила притяжения Земли заставляет Луну постоянно искривлять траекторию своего полета таким образом, что она всегда кружится вокруг нас. На Луну в данном случае воздействует сила? Да, это та самая сила, которая и была открыта Ньютоном с помощью яблока - сила притяжения.
И ускорение, которое она придает нашему естественному спутнику, называется центростремительным. Как найти ускорение Луны при ее движении по орбите?
a ц = V 2 / R = 4π 2 R / T 2 , где
a ц - центростремительное ускорение, м/с∙с;
V - скорость движения Луны по орбите, м/с;
R - радиус орбиты, м;
T- период обращения Луны вокруг Земли, с.
a ц = 4 π 2 384 399 000 / 2360591 2 = 0,002723331 м/с∙с
На данном уроке мы с вами рассмотрим важную характеристику неравномерного движения - ускорение. Кроме того, мы рассмотрим неравномерное движение с постоянным ускорением. Такое движение еще называется равноускоренным или равнозамедленным. Наконец, мы поговорим о том, как графически изображать зависимости скорости тела от времени при равноускоренном движении.
Домашнее задание
Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.
1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10.
2. Запишите зависимости скорости от времени и нарисуйте графики зависимости скорости тела от времени для случаев, изображенных на рис. 1, случаи б) и г). Отметьте на графиках точки поворота, если такие есть.
3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:
Вопрос. Является ли ускорение свободного падения ускорением, согласно данному выше определению?
Ответ. Конечно, является. Ускорение свободного падения - это ускорение тела, которое свободно падает с некоторой высоты (сопротивлением воздуха нужно пренебречь).
Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости движения тела?
Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.
Вопрос. Можно ли вычислять тангенс угла наклона, воспользовавшись транспортиром и калькулятором?
Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должно иметь размерность м/с 2 .
Вопрос. Что можно сказать о движении, если график зависимости скорости от времени не является прямой?
Ответ. Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.
Поступательное и вращательное движения
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными
Скорость
- это отношение пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден.
Скорость так же
- это сумма начальной скорости и ускорения умноженного на время.
Скорость
- произведение угловой скорости на радиус окружности.
v=S/t
v=v 0 +a*t
v=ωR
Ускорение тела, при равноускоренном движении - величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов :
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
v =ωR
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
Рис.3
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε сонаправлен вектору ω (рис. 3), при замедленном - противонаправлен ему (рис. 4).
Рис.4
Тангенциальная составляющая ускорения a τ =dv/dt , v = ωR и
Нормальная составляющая ускорения
Значит, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а τ , нормальное ускорение а n) и угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:
s = Rφ, v = Rω, а τ = R?, a n = ω 2 R.
В случае равнопеременного движения точки по окружности (ω=const)
ω = ω 0 ± ?t, φ = ω 0 t ± ?t 2 /2,
где ω 0 - начальная угловая скорость.
