Волновая функция пси. Волновая функция и ее статистический смысл. Виды волновой функции и ее коллапс

Для описания корпускулярно-волновых свойств электрона в квантовой механике используют волновую функцию, которая обозначается греческой буквой пси (Т). Главные свойства волновой функции таковы:

• в любой точке пространства с координатами х, у, z она имеет определенные знак и амплитуду: ЧДд:, у , г);
• квадрат модуля волновой функции | ЧДх, y,z) | 2 равен вероятности нахождения частицы в единице объема, т.е. плотности вероятности.

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от ядра атома изображают несколькими способами. Часто ее характеризуют числом точек в единице объема (рис. 9.1, а). Точечное изображение плотности вероятности напоминает облако. Говоря об электронном облаке, следует иметь в виду, что электрон - это частица, проявляющая одновременно и корпускулярные, и волновые

Рис. 9.1.

свойства. Область вероятности обнаружения электрона не имеет четких границ. Однако можно выделить пространство, где вероятность его обнаружения велика или даже максимальна.

На рис. 9.1, а штриховой линией обозначена сферическая поверхность, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%. На рис. 9.1, б приведено контурное изображение электронной плотности в атоме водорода. Ближайший к ядру контур охватывает область пространства, в которой вероятность обнаружения электрона 10%, вероятность же обнаружения электрона внутри второго от ядра контура составляет 20%, внутри третьего - 30% и т.д. На рис. 9.1, в электронное облако изображено в виде сферической поверхности, внутри которой вероятность обнаружения электрона составляет 90%.

Наконец, на рис. 9.1, г и б двумя способами показана вероятность обнаружения электрона Is на разных расстояниях г от ядра: вверху показан «разрез» этой вероятности, проходящий через ядро, а внизу - сама функция 4лг 2 |У| 2 .

Уравнение Шрёдингсра. Это фундаментальное уравнение квантовой механики было сформулировано австрийским физиком Э. Шрёдингером в 1926 г. Оно связывает полную энергию частицы Е, равную сумме потенциальной и кинетической энергий, потенциальную энергию?„, массу частицы т и волновую функцию 4*. Для одной частицы, например электрона массой т е, оно имеет следующий вид :

С математической точки зрения это уравнение с тремя неизвестными: У, Е и?„. Решить его, т.е. найти эти неизвестные, можно, если решать его совместно с двумя другими уравнениями (для нахождения трех неизвестных требуется три уравнения). В качестве таких уравнений используют уравнения для потенциальной энергии и граничных условий.

Уравнение потенциальной энергии не содержит волно- вую функцию У. Оно описывает взаимодействие заряженных частиц по закону Кулона. При взаимодействии одного электрона с ядром, имеющим заряд +z, потенциальная энергия равна

где г = У* 2 + у 2 + z 2 .

Это случай так называемого одноэлектронного атома. В более сложных системах, когда заряженных частиц много, уравнение потенциальной энергии состоит из суммы таких же кулоновских членов.

Уравнением граничных условий является выражение

Оно означает, что волновая функция электрона стремится к нулю на больших расстояниях от ядра атома.

Решение уравнения Шрёдингера позволяет найти волновую функцию электрона? = (х, у , z) как функцию координат. Это распределение называется орбиталью.

Орбиталь - это заданная в пространстве волновая функция.

Система уравнений, включающая уравнения Шрёдингера, потенциальной энергии и граничных условий, имеет не одно, а много решений. Каждое из решений одновременно включает 4 х = (х, у , г) и Е , т.е. описывает электронное облако и соответствующую ему полную энергию. Каждое из решений определяется квантовыми числами.

Физический смысл квантовых чисел можно понять, рассмотрев колебания струны, в результате которых образуется стоячая волна (рис. 9.2).

Длина стоячей волны X и длина струны b связаны уравнением

Длина стоячей волны может иметь лишь строго определенные значения, отвечающие числу п, которое принимает только целочисленные неотрицательные значения 1,2,3 и т.д. Как очевидно из рис. 9.2, число максимумов амплитуды колебаний, т.е. форма стоячей волны, однозначно определяется значением п.

Поскольку электронная волна в атоме представляет собой более сложный процесс, чем стоячая волна струны, значения волновой функции электрона определяются не одним, а че-

Рис. 9.2.

тырьмя числами, которые называются квантовыми числами и обозначаются буквами п, /, т и s. Данному набору квантовых чисел п, /, т одновременно отвечают определенная волновая функция Ч"лДл, и полная энергия E„j. Квантовое число т при Е не указывают, так как в отсутствие внешнего поля энергия электрона от т не зависит. Квантовое число s не влияет ни на 4* п хт, ни на E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*p
• Символы --, --- означают вторые частные производные от fir1 дуг 8z2 Ч"-функции. Это производные от первых производных. Смысл первой производной совпадает с тангенсом угла наклона функции Ч" от аргумента х, уили z на графиках? = j(x), Т =/2(у), Ч" =/:!(z).

> Волновая функция

Читайте о волновой функции и теории вероятностей квантовой механики: суть уравнения Шредингера, состояние квантовой частицы, гармонический осциллятор, схема.

Речь идет об амплитуде вероятности в квантовой механике, описывающей квантовое состояние частицы и ее поведение.

Задача обучения

• Объединить волновую функцию и плотность вероятности определения частички.

Основные пункты

• |ψ| 2 (x) соответствует плотности вероятности определения частички в конкретном месте и моменте.
• Законы квантовой механики характеризуют эволюцию волновой функции. Уравнение Шредингера объясняет ее наименование.
• Волновая функция должна удовлетворять множество математических ограничений для вычислений и физической интерпретации.

Термины

• Уравнение Шредингера – частичный дифференциал, характеризующий изменение состояния физической системы. Его сформулировал в 1925 году Эрвин Шредингер.
• Гармонический осциллятор – система, которая при смещении от изначальной позиции, испытывает влияние силы F, пропорциональной смещению х.

В пределах квантовой механики волновая функция отображает амплитуду вероятности, характеризующую квантовое состояние частички и ее поведение. Обычно значение – комплексное число. Наиболее распространенными символами волновой функции выступают ψ (x) или Ψ(x). Хотя ψ – комплексное число, |ψ| 2 – вещественное и соответствует плотности вероятности нахождения частицы в конкретном месте и времени.

Здесь отображены траектории гармонического осциллятора в классической (А-В) и квантовой (C- H) механиках. В квантовой шар обладает волновой функцией, отображенной с реальной частью в синем и мнимой в красном. Траектории C- F – примеры стоячих волн. Каждая такая частота будет пропорциональной возможному уровню энергии осциллятора

Законы квантовой механики эволюционируют со временем. Волновая функция напоминает другие, вроде волн в воде или струне. Дело в том, что формула Шредингера выступает типом волнового уравнения в математике. Это приводит к двойственности волновых частиц.

Волновая функция обязана соответствовать ограничениям:

• всегда конечная.
• всегда непрерывная и непрерывно дифференцируемая.
• удовлетворяет соответствующее условие нормировки, чтобы частичка существовала со 100% определенностью.

Если требования не удовлетворены, то волновую функцию нельзя интерпретировать в качестве амплитуды вероятности. Если мы проигнорируем эти позиции и воспользуемся волновой функцией, чтобы определить наблюдения квантовой системы, то не получим конечных и определенных значений.

(1 оценок, среднее: 5,00 из 5)

Вовсе не двоечник Ранее бытовал миф, что Эйнштейн получал двойки и чуть ли не был отстающим. Эта идея особенно часто используется некотор...

Космический корабль готовится выстрелить в астероид Нет, это не операция по уничтожению или спасению Земли. Японский зонд действительно планирует ещ...

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ функция, позволяющая найти вероятность того, что квантовая система находится в некотором состоянии s в момент времени t. Обычно пишется: (s) или (s, t). Волновая функция используется в уравнении ШРЕДИНГЕРА … Научно-технический энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ Современная энциклопедия

Волновая функция - ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в квантовой механике основная величина (в общем случае комплексная), описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих эту систему физических величин. Квадрат модуля волновой… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - (вектор состояния) в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих ее физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен вероятности данного… … Большой Энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - в квантовой механике (амплитуда вероятности, вектор состояния), величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (эл на, протона, атома, молекулы) и вообще любой квант. системы. Описание состояния микрообъекта с помощью В. ф. имеет… … Физическая энциклопедия

волновая функция - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN wave function … Справочник технического переводчика

волновая функция - (амплитуда вероятности, вектор состояния), в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен… … Энциклопедический словарь

волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave function vok. Wellenfunktion, f rus. волновая функция, f; волнообразная функция, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: angl. wave function rus. волновая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - комплексная функция, описывающая состояние квантовомех. системы и позволяющая находить вероятности и ср. значения характеризуемых ею физ. величин. Квадрат модуля В. ф. равен вероятности данного состояния, поэтому В.ф. наз. также амплитудой… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

• , Б. К. Новосадов. Монография посвящена последовательному изложению квантовой теории молекулярных систем, а также решению волновых уравнений в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике молекул.… Купить за 855 грн (только Украина)
• Методы математической физики молекулярных систем , Новосадов Б.К.. Монография посвящена последовательному изложению квантовой теории молекулярных систем, а также решению волновых уравнений в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике молекул.…

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ функция, позволяющая найти вероятность того, что квантовая система находится в некотором состоянии s в момент времени t. Обычно пишется: (s) или (s, t). Волновая функция используется в уравнении ШРЕДИНГЕРА … Научно-технический энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ Современная энциклопедия

Волновая функция - ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, в квантовой механике основная величина (в общем случае комплексная), описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих эту систему физических величин. Квадрат модуля волновой… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - (вектор состояния) в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих ее физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен вероятности данного… … Большой Энциклопедический словарь

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - в квантовой механике (амплитуда вероятности, вектор состояния), величина, полностью описывающая состояние микрообъекта (эл на, протона, атома, молекулы) и вообще любой квант. системы. Описание состояния микрообъекта с помощью В. ф. имеет… … Физическая энциклопедия

волновая функция - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN wave function … Справочник технического переводчика

волновая функция - (амплитуда вероятности, вектор состояния), в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат модуля волновой функции равен… … Энциклопедический словарь

волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave function vok. Wellenfunktion, f rus. волновая функция, f; волнообразная функция, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

волновая функция - banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: angl. wave function rus. волновая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ - комплексная функция, описывающая состояние квантовомех. системы и позволяющая находить вероятности и ср. значения характеризуемых ею физ. величин. Квадрат модуля В. ф. равен вероятности данного состояния, поэтому В.ф. наз. также амплитудой… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

• , Б. К. Новосадов. Монография посвящена последовательному изложению квантовой теории молекулярных систем, а также решению волновых уравнений в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике молекул.… Купить за 855 грн (только Украина)
• Методы математической физики молекулярных систем , Новосадов Б.К.. Монография посвящена последовательному изложению квантовой теории молекулярных систем, а также решению волновых уравнений в нерелятивистской и релятивистской квантовой механике молекул.…

Экспериментальное подтверждение идеи Луи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность , а величина , названная амплитудой вероятности и обозначаемая . Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

(4.3.1)

где , где – функция комплексно-сопряженная с Ψ.

Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический , вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx , y и dy , z и dz .

Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых

Величина (квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности , т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки , имеющей координаты x , y , z . Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля , которым определяется интенсивность волн де Бройля .

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V , согласно теореме о сложении вероятностей, равна:

.

Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:

где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x , y , z от до . Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:

· конечной (вероятность не может быть больше единицы);

· однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);

· непрерывной (вероятность не может меняться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , , … , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

где (n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории , в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов . Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле

,