Определение . Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).
Определение . Точка z 0 называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:
б) существует, конечен и не равен нулю.
Если целые положительные числа), тогда – нули (корни) этого многочлена, которые имеют соответственно порядки (кратности) .
Определение . Пусть f (z ) аналитическая функция в окрестности точки z 0 , за исключением самой точки z 0 . В этом случае точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f (z ).
Различают изолированные особые точки однозначной функции трёх типов :
1) устранимую особую точку – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел:
2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел, не равный нулю:
(2.41)
если , то z 0 – полюс первого порядка (простой полюс);
3) существенно особую точку – изолированную особую точку z 0 , которая не является ни устранимой, ни полюсом. То есть не существует, ни конечный, ни бесконечный.
Теорема (о связи между нулем и полюсом) . Если точка z 0 – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.
Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке области D, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).
Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции f(z), то по основной теореме Коши
.
Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.
Определение . Вычетом аналитической функции f(z) относительно изолированной особой точки z 0 (или в точке z 0) называется комплексное число, равное значению интеграла , где L – любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя единственную особую точку z 0 функции f(z).
Вычет f(z) относительно точки z 0 обозначается символом resf(z 0)(Resf(z 0)) или так, что имеем:
. (2.42)
Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:
Вычет f(z) относительно простого полюса можно найти по формуле:
Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:
Если причем точка является простым нулем и не является нулем для , то:
. (2.46)
Основная теорема Коши о вычетах . Если функция f(z) аналитическая в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри ,то:
Эта теорема имеет большое значение для приложений.
Одно из них – это вычисление некоторых интегралов от функции комплексной переменной.
Замечание . В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предполагалось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь контура только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рассматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.
Определение .Вычетом функции f(z) относительно бесконечно удаленной точки называют интеграл:
где L – замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий в той окрестности точки , в которой функция f(z) является аналитической. Интегрирование по Lсовершается в отрицательном направлении этого контура, т.е. так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева. Таким образом:
Пример 1
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:
.
Решение
1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):
Особые точки: .
2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область графически (рис. 2.7).
Точку z = 1 не рассматриваем, так как она не лежит внутри области .
3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):
Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).
4) Найдем вычет функции относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):
5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):
Ответ
Пример 2
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах.
Интеграл от рациональной функции.
Рассмотрим несобственный интеграл от рациональной функции-- отношения двух многочленов Р(х) и Q(x) (с комплексными коэффициентами):
Он сходится, если знаменатель не имеет вещественных корней и степень числителя по крайней мере на две единицы меньше, чем степень знаменателя.
Как вычислить значение этого интеграла?
Можно, разумеется, взять неопределенный интеграл от рациональной функции и подставить пределы. Но, оказывается, иногда быстрее применить методы, связанные с аналитической природой функции.
Функция комплексного переменного z, равная, аналитична всюду в плоскости переменного z, за исключением конечного числа точек--корней знаменателя. Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый кусочно-гладкий контур L, образованный отрезком [-R, R] вещественной оси и полуокружностью
где R настолько велико, что вне полученного полукруга уже нет в верхней полуплоскости ни одного корня знаменателя.
Внутри этого полукруга имеется, вообще говоря, некоторое число корней знаменателя, например (рис. 1.3.1).
В силу формулы
мы получаем выражение
Устремим теперь R в. На полуокружности мы имеем в силу условия на степени многочленов Р(z) и Q(z), где А -- некоторая постоянная; поэтому
Отсюда следует, что интеграл
имеет пределом при величину (1.3.1.2). Но так как интеграл (1.3.1.1) сходится, то он должен совпадать с пределом интеграла (1.3.1.3). Итак,
а. Если корни простые, то по формуле
и, следовательно,
б. Замечание. Интеграл их мы привели к сумме вычетов (умноженной на) функции в верхней полуплоскости, рассматривая контур L, составленный из отрезка [-R, R] и полуокружности.
Но таким же образом можно рассуждать и с контуром, составленным из отрезка (проходимого справа налево) и полуокружности в нижней полуплоскости; мы получим
где - корни многочлена Q(z), лежащие в нижней полуплоскости.
Переходя к пределу при, найдем
Полученный результат по форме отличается от результата (1.3.1.4). В действительности они, конечно, совпадают, так что разность этих результатов, т. е. умноженная на сумма вычетов функции во всех корнях Q(z), как в верхней, так и в нижней полуплоскости, равна 0.
Это можно показать и непосредственно. Как мы знаем, эта сумма вычетов совпадает с интегралом
по полной окружности радиуса R, достаточно большого, чтобы она содержала внутри все корни Q(z). Этот интеграл не зависит от R и в то же время допускает оценку
Таким образом, интеграл (8) равен 0. Отсюда
а. Интегралы Фурье. Часто встречаются интегралы вида
Если выполнено условие
то все три интеграла Фурье абсолютно сходятся. Если при функция f(x) вещественна и монотонно стремится к нулю, интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) сходятся при, но, вообще говоря, неабсолютно. Если при этом f(- х)f(x) (т. е. функция f(x) четна), то интеграл (1.3.2.3) равен нулю, если же f(- х) = -f(x) (функция f(x) нечетна), то интеграл (1.3.2.2) равен нулю. Кроме того, имеется очевидная связь
так что в случае вещественной f(х) интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) представляют вещественную и мнимую части интеграла (1.3.2.1).
б. Часто бывают полезны методы контурного интегрирования. Пусть. есть рациональная функция и полином Q(х) имеет степень по крайней мере на единицу выше степени полинома Р(х) и не обращается в 0 при вещественных х. В этом случае интегралы (1.3.2.1) -- (1.3.2.3) сходятся
Пусть -- корни многочлена Q(х), лежащие в верхней полуплоскости. Образуем замкнутый контур, состоящий из отрезка [-R, R] вещественной оси и полуокружности.Тогда
Покажем, что при
Если, то ||=||=. Поэтому если степень многочлена Q(z) по крайней мере на две единицы выше степени многочлена P(z), доказательство соотношения (1.3.2.5) можно провести точно так же, как в 1.3.1.
в. Если степень многочлена Q(z) лишь на единицу выше степени многочлена P(z), то рассуждение 1.3.1 не проходит. Для этого случая мы установим следующую лемму.
Лемма. При справедливо неравенство
(c - постоянная).
Доказательство. Так как, то достаточно рассмотреть интеграл
составляющий ровно половину предыдущего. Мы имеем при
поскольку функция при u>0 ограничена. Лемма доказана.
Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!
Решение неопределённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
Решение определённых интегралов
Это онлайн сервис в один шаг :
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний предел для интеграла
- Ввести верхний предел для интеграла
Решение двойных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
Решение несобственных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
- Ввести нижнюю область интегрирования (или - бесконечность)
Решение тройных интегралов
- Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
- Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
- Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования
Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность
Возможности
- Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
- Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
- Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
- Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
- Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)
1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Пусть функция f(z) имеет внутри замкнутого контура Г только изолированные особые точки. Тогда интеграл от f(z) по контуру Г можно найти, применяя теорему 27.1 о вычетах: вычисляя вычеты в особых точках, находящихся внутри контура Г, складывая эти вычеты и умножая сумму на 2тгг, мы и получим искомый интеграл.
Г1 р и м е р 28.1. Вычислить интеграл
Р е ш е н и е. Внутри окружности z = 2 находятся две особые точки функции f(z) = ( 2 2 + i)(^+3) 2 ’ а именно z i = U z 2 = -Ц третья особая точка z% = - 3 лежит вне этой окружности. Вычеты в точках ±г были найдены в примере 27.5: res*/ = 0,01(7-N), res_*/ = 0,01(7- г). Применяя формулу (27.2), имеем:
Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости С только изолированные особые точки, то вместо вычисления суммы вычетов в конечных особых точках бывает проще найти вычет в бесконечно удаленной точке и воспользоваться теоремой 27.10 о сумме вычетов.
Пример 28.2. Вычислить интеграл
Решение. Функция f(z) = имеет восемь особых точек
Решений уравнения z s 4- 1 = 0. Каждая из этих точек Zk является полюсом второго порядка, поскольку в окрестности точки Zk функция f(z) имеет вид f(z) = , где h(z) аналитична в окрестности
точки Zk и h(zk) ф 0. Все особые точки лежат внутри окружности z = 2. Вычисление вычетов во всех этих точках весьма трудоемко. По к данной функции применима теорема 27.10, которая дает
Поэтому достаточно найти вычег в точке zq = эо. Воспользуемся формулой (27.13). Здесь
Функция g(w) представима в виде = - 1 ^ ^. где h(w) = --
W (1 + W b)
Поскольку hi(w) аналитична в окрестности точки wq = 0 и h (0) Ф 0, то вычет reso$ легко найти по формуле (27.6 /): reso# = h(0) = 1. Из (27.2), (28.1) и (27.13) получаем:
- 2. Вычисление интегралов вида / R(cos ip, sin dp, где R -
рациональная функция от cos р, sin р. Такие интегралы возникают в ряде приложений (например, при решении краевых задач). Они сводятся к интегралам, рассмотренным в предыдущем пункте, с помощью замены переменного 2 = е г Тогда dz = e tip idp = zidp , откуда
(см. формулы (12.2)). При изменении р от 0 до 2тг точка г описывает окружность z = 1. Поэтому после перехода к переменному 2 мы получим интеграл по единичной окружности от функции, представимой в виде отношения двух многочленов; такие функции называются рациональными дробями или дробно-рациональными функциями.
Пример 28.3. Вычислить интеграл
Решен и е. Выполняя указанные выше подстановки, получим, что данный интеграл равен
Разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни уравнения az 2 - (а 2 + )z + а = 0. Дискриминант
Следовательно, подынтегральная функция f(z) имеет две особые точки z - а и 22 = 1/а, каждая из которых является полюсом первого порядка. Так как по условию |а| Z лежит внутри окружности z = 1, а г? вне ее. По теореме 27.1
Для вычисления вычета в точке Z = а можно воспользоваться любой из формул (27.5), (27.6), (27.6"). Применим, например, формулу (27.6). Здесь
3. Вычисление несобственных интегралов. Пусть f(x)
функция, заданная на всей оси ОХ. Рассмотрим вычисление несоб-
ственных интегралов f f(x) dx, определяемых следующим образом:
Интеграл, определенный равенством (28.2), называется несобственным интегралом в смысле главного значения. Если предат в (28.2)
существует, то интеграл J f(x) dx называется сходящимся ; если пре-
дел не существует, то расходящимся.
Если сходится каждый из интегралов
(т.е. существуют оба соответствующих предела), то несобственный интеграл в (28.2) также сходится и равен сумме этих интегралов.
Но обратное неверно: из сходимости интеграла / f(x)dx в смысле
главного значения (т.е. из существования предела в (28.2)) не сле-
дует сходимость интегралов / f(x)dx и / f(x)dx. Например, инте-
- -оо о
/ xdx
- --^ сходится в смысле главного значения и равен нулю,
- 1 + х*
поскольку
В то же время каждый из интегралов расходится.
Вычисление многих несобственных интегралов
(в смысле главного значения) основывается на следующей теореме.
Теорема 28.4. Пусть функция f(x),x 6 (-оо, +ос), удовлетворяет следующим двум условиям:
- 1) функция f(z ), получаемая заменой х комплексным,: переменным z, имеет в комплексной плоскости С лишь изолированные особые точки , причем ни одна из них не лежит на оси ОХ ;
- 2) если 7(Я) - полуокружность радиуса R с центром в начале координат , лежащая в верхней (либо в нижней) полуплоскости , то
в осо-
Тогда интеграл. J f(x)dx равен сум.ме вычетов функции f(z)
бых точках, лежащих в верхней полхрхлоскоети, умноженной на 2/П (соответственно ]твен сумме вычетов в особых точках из нижней полуплоскости, умноженной па - 2 лг).
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда полуокружность 7(Я) лежит в верхней полуплоскости. Возьмем замкнутый контур Г, состоящий из отрезка [-Я, Я] и полуокружности 7(Я), с обходом против часовой стрелки (рис. 49). По теореме 27.1
где сумма распространяется на все особые точки Zk , лежащие внутри контура Г. Перейдем к пределу при Я -> оо. Пользуясь соотношениями (28.2) и (28.3), получим нужное равенство:
где сумма берется по всем особым точкам из верхней полуплоскости.
Бели полуокружность 7(Я) лежит в нижней полуплоскости, то соответствующий контур Г“ будет обходиться по часовой стрелке (такое направление возникает оттого, что отрезок [-Я, Я] в любом случае должен проходиться слева направо, т.е. в направлении возрастания х). Поэтому в правой части (28.4) добавится знак минус. Теорема 28.4 доказана.
Пример 28.5. Вычислить интеграл
Решение. В данном случае f(z) = ^ + уу Проверим справедливость условия (28.3):
где h(z) = --§-ту. Так как lim h(z) = 1, то при достаточно боль-
ших значениях z будет h(z)
Следовател ь но.
(здесь f dz = тгR - длина полуокружности у(R)). Переходя к пре- 7(«)
делу при R -> оо. получим (28.3). Проведепные оценки справедливы как для верхней, так и для нижней полуокружности. Поэтому в качестве 7(Л) можно выбрать любую из них. Пусть у(R) - верхняя полуокружность. Так как
то f(z) имеет две особые точки z - 3г, zo = -Зг, являющиеся полюсами второго порядка. Из них в верхней полуплоскости находится только z = Зг. Вычет в этой точке найдем по формуле (27.7) с тг = 2:
Заметим, что вычислить данный интеграл можно было и не прибегая к методам комплексного анализа, а находя первообразную подынтегральной функции. Но приведенное вычисление значительно проще.
Рассуждение, проведенное нами в примере 28.5 для проверки условия (28.3), без изменения подходит к любой функции f(z), представимой в виде отношения двух многочленов (т.е. рациональной дроби), если степень многочлена в знаменателе на две и более единицы превосходит степень многочлена в числителе. (В примере 28.5 степень многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе - 4.) Следующая теорема показывает, что условию (28.3) удовлетворяет и другой важный класс функций, интегралы от которых возникают, например, в операционном исчислении (см. гл. VIII).
Теорема 28.6 (лемма Жордана). Пусть функция F(z) аполитична в полуплоскости lm z ^ -а, за исключением конечного числа изолированных особых точек , и lim F(z) = 0. Если 7(R) - дуга
окружности z = 7?, расположенная в полуплоскости Ini 2 ^ -а, то
Рис. 50
Доказательство. Рассмотрим вначале случай а > 0. Обозначим через М (7?) максимум модуля F(z) на дуге 7(7?). Поскольку lira F(z) = 0, то
lim M(R) = 0.
Разобьем 7(7?) на три части 7i (Л), 72(7?) и 7з(Т?) (рис. 50): дуги 7i(R) и 72(Я) заключены между прямой у = -а и осью ОА", а 7з(Т?) является полуокружностью, лежащей в полуплоскости Im z ^ 0. Очевидно, что интеграл по 7(7?) равен сумме интегралов по этим трем дугам. Оценим каждый из них в отдельности.
В точках z = х + iy дуг 71 (7?) и 72(7?) будет -у Поэтому
Обозначим через /(7?) длины, а через у?(7?) - центральные углы дуг 7i(T?) и 72(7?) (в радианах). Легко видеть (см. рис. 50), что siny? =
откуда?>(7?) = arcsin -. Поэтому /(7?) = R
7?arcsin -. Отсюда получаем
Таким образом, в случае а > 0 теорема доказана. Если а ^ 0, то дуга "y(R) лежит в полуплоскости Im z ^ 0 и является частью дуги 73(R); части 7i (R) и 7г(Я) в этом случае отсутствуют. Для 7(R) справедливы рассуждения, проведенные выше для 73(7?), и теорема 28.G полностью доказана.
Смысл теоремы 28.6 состоит в том. что функция F(z) может стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 28.5 убывание функции f(z) при z -? оо было достаточно быстрым как |z|“ 2). Но умножение на e ltz обеспечивает стремление интеграла по 7(R) к нулю.
Замечание. Для случая t z = /?, лежащую в полуплоскости Imz ^ -а (на рис. 50 показана пунктиром). Доказательство в этом случае аналогично приведенному выше для t > 0. В случае t - 0 теорема 28.6 неверна.
П р и м е р 28.7. Вычислить интегралы
Таким образом, действительная и мнимая части функции f(x) и являются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
ются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
/ Х€*^ х
- --- dx и возьмем от него действиям + 9
тельную и мнимую части, то получим искомые величины.
Функция F(z) = .Д удовлетворяет условиям теоремы 28.6: она z "f 9
имеет только две особые точки z > = ±3t и lim -- = 0. Ес-
z->o о Z z + 9
ли 7(/?) дуга окружности z = R, расположенная в полуплоскости Im z > 0. то согласно tcodcmc 28.6
(мы взяли в (28.5) t = 2). Значит, можно применить теорему 28.4,
согласно которой интеграл / --- dx равен сумме вычетов функ-
J x z 4- 9
ции f(z) = - -- в особых точках из верхней полуплоскости 1 т z > z I J
О, умноженной на 2т. В полуплоскости Im z > 0 лежит единственная
Z e i2z
особая точка Z = Зг функции f(z). Так как f(z) = - -----,
(z - oi)(z + Зг)
то z = Зг - полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно найти по любой из сЬоомул (27.,"В. (27.6L (27.63. Ппименим (27.63. Злесь
Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми и I ггегралам и:
(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной функции по интервалу, симметричному относительно начала координат.)